모듈라이 공간

섬세한 모듈라이 공간은 대수기하학에서 특정한 분류 문제를 해결하기 위한 이상적인 해법이다. 이는 어떤 공간족을 분류하는 함자가 완벽하게 표현될 수 있을 때 존재하는 공간을 가리킨다. 구체적으로, 스킴의 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 F가 주어졌을 때, 이 함자의 섬세한 모듈라이 공간은 F를 표현 가능 함자로 만드는 스킴 M과 자연 동형 τ의 쌍 (M, τ)으로 정의된다.

이 정의의 핵심은 모든 공간족이 보편 공간족의 당김으로 얻어진다는 점이다. 즉, 임의의 밑공간 B 위에 존재하는 공간족은 유일한 사상 B → M을 통해, M 위에 존재하는 하나의 보편적인 공간족으로부터 유도된다. 이는 분류하고자 하는 대상(예: 특정 종수의 곡선, 특정 차원의 벡터 공간의 부분공간 등) 각각이 모듈라이 공간 M의 점과 일대일로 대응하며, 그 관계가 국소적으로나 대역적으로 모두 잘 제어됨을 의미한다.

그러나 섬세한 모듈라이 공간은 매우 강한 조건이기 때문에 항상 존재하지는 않는다. 분류 대상이 자명하지 않은 자기 동형 사상을 가질 경우, 서로 다른 대상이 같은 점에 대응될 수 있어 일대일 대응이 깨지기 때문이다. 이러한 경우에는 조건이 완화된 거친 모듈라이 공간을 고려하거나, 더 풍부한 정보를 담을 수 있는 스택과 같은 개념을 도입해야 한다.

거친 모듈라이 공간은 섬세한 모듈라이 공간보다 약한 조건을 만족하는 모듈라이 공간이다. 주어진 함자에 대해 섬세한 모듈라이 공간이 존재하지 않는 경우가 많으며, 이때 대안으로 거친 모듈라이 공간을 고려한다. 거친 모듈라이 공간은 각 점이 분류하고자 하는 대상의 동형류에 대응하지만, 보편족을 갖지 않는다는 점에서 섬세한 모듈라이 공간과 구별된다.

구체적으로, 스킴의 범주에서 함자 F의 거친 모듈라이 공간은 스킴 M과 자연 변환 τ의 쌍으로 정의된다. 여기서 τ는 모든 대수적으로 닫힌 체 K에 대해 F(Spec K)에서 Spec K에서 M으로 가는 사상의 집합으로 가는 함수가 전단사가 되도록 한다. 또한, 다른 스킴 M'과 자연 변환 τ'이 주어졌을 때, τ를 통해 τ'을 유도하는 유일한 사상 M → M'이 존재해야 한다.

이 정의는 분류 문제에서 대상들의 동형류를 점으로 하는 기하학적 공간을 구성할 수 있게 해준다. 예를 들어, 대수 곡선의 모듈라이 공간에서, 종수 g인 비특이 사영 곡선들의 경우 섬세한 모듈라이 공간은 존재하지 않지만 거친 모듈라이 공간은 존재한다. 그러나 거친 모듈라이 공간은 대상들의 자기 동형 사상에 의한 정보를 잃어버리기 때문에, 이를 보존하려면 모듈라이 스택과 같은 더 정교한 개념이 필요하다.

따라서 거친 모듈라이 공간은 대수기하학에서 중요한 분류 도구이지만, 그 한계로 인해 현대 기하학에서는 이를 보완하는 스택 이론이 널리 사용된다.

그라스만 다양체는 모듈라이 공간의 대표적인 예시이다. 이는 주어진 벡터 공간 안에 존재하는 모든 특정 차원의 부분 벡터 공간들을 분류하고, 그 집합 자체에 대수다양체의 구조를 부여한 공간이다. 예를 들어, 어떤 벡터 공간 V 안의 모든 1차원 부분 공간들의 모듈라이 공간은 사영 공간이 된다. 이는 사영 기하학의 기본적인 대상이자, 모듈라이 이론에서 가장 간단한 형태 중 하나를 보여준다.

보다 일반적으로, n차원 벡터 공간 V 안의 모든 k차원 부분 공간을 모은 집합이 그라스만 다양체 G(k, V)를 이룬다. 이 공간의 각 점은 정확히 하나의 k차원 부분 공간에 대응하며, 이는 모듈라이 공간의 정의를 충실히 따른다. 그라스만 다양체는 대수기하학뿐만 아니라 미분기하학과 위상수학에서도 중요한 연구 대상이 된다.

이러한 그라스만 다양체는 섬세한 모듈라이 공간의 전형적인 예이다. 즉, 이 공간 위에는 보편적 성질을 만족하는 보편 공간족이 존재하여, 다른 어떤 기저 공간 위에 놓인 부분 벡터 공간들의 족은 그라스만 다양체로 가는 유일한 사상에 의해 완전히 기술될 수 있다. 이는 분류 문제를 기하학적으로 완벽하게 해결하는 이상적인 경우에 해당한다.

따라서 그라스만 다양체는 모듈라이 공간 이론의 출발점이자 표준 모델로서, 더 복잡한 기하학적 대상들의 모듈라이 공간을 이해하는 데 기초를 제공한다. 이후 발전된 힐베르트 스킴이나 곡선의 모듈라이 공간과 같은 개념들은 이러한 고전적인 예시를 확장한 것으로 볼 수 있다.

저우 다양체는 대수기하학에서 사영 공간 속에 존재하는 대수적 부분 다양체들을 분류하는 모듈라이 공간의 중요한 예시이다. 구체적으로, 저우 다양체 Chow(d, P^n)는 n차원 사영 공간 P^n 속에 있는, 주어진 차원과 차수를 가진 대수적 사이클들의 모듈라이 공간 역할을 한다. 이는 각 점이 사영 공간 속의 특정한 기하학적 객체, 예를 들어 곡선이나 곡면에 대응하는 공간을 구성한다.

이러한 분류 공간은 힐베르트 스킴과 밀접한 관련이 있지만, 동일한 위상적 또는 기하학적 특성을 공유하는 객체들을 동치류로 묶어 더 거친 분류를 제공한다는 차이가 있다. 저우 다양체는 섬세한 모듈라이 공간이 아닌 거친 모듈라이 공간의 전형적인 예로, 객체들에 자명하지 않은 자기 동형 사상이 존재할 경우 섬세한 모듈라이 공간이 존재하지 않기 때문이다. 따라서 저우 다양체는 대수적 위상수학의 분류 공간과 유사한 철학을 가지며, 복잡한 기하학적 대상들의 집합을 체계적으로 연구할 수 있는 틀을 마련해 준다.

곡선의 모듈라이 공간은 대수기하학에서 주어진 종수를 가진 대수 곡선들을 분류하는 공간이다. 예를 들어, 종수 g가 0인 곡선은 사영 직선 하나로 분류되지만, 종수가 1 이상인 곡선들의 경우 그 분류 공간은 더 복잡한 구조를 가진다. 이 공간은 각 점이 서로 동형이 아닌 곡선 하나에 대응하며, 곡선들의 연속적인 변형을 그 공간 안의 경로로 나타낼 수 있다.

이러한 모듈라이 공간을 구성할 때, 곡선들이 자기 동형 사상을 가진다는 점이 주요 난제이다. 이로 인해 섬세한 모듈라이 공간은 일반적으로 존재하지 않으며, 대신 모듈라이 스택이라는 더 풍부한 기하학적 구조를 도입해야 한다. 종수 g인 비특이 사영 곡선들의 모듈라이 스택은 보통 M_g로 표기한다.

보다 완비된 이론을 위해 안정 곡선의 개념을 도입하여 모듈라이 공간을 콤팩트화할 수 있다. 여기에 유리수 점을 추가함으로써 얻은 공간 M ̅_g는 원래의 모듈라이 스택을 경계를 가진 콤팩트 공간으로 확장한 것이다. 이 콤팩트화는 교차 이론과 열거 기하학 등 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

한편, 거친 모듈라이 공간은 여전히 존재하며, 이는 각 동형류의 곡선을 하나의 점으로 나타내지만, 자기 동형군에 의한 미세한 정보는 잃어버린다. 곡선의 모듈라이 공간과 스택의 연구는 기하학적 불변량 이론과 깊이 연관되어 있으며, 현대 대수기하학의 중심 주제 중 하나이다.